Doğal Sayılar, Tam Sayılar ve Cebire Giriş

Orta düzey cebir çalışmalarına başlarken, bazı becerilerimizi ve terminolojimizi tazelememiz gerekiyor. Bu bölüm ve bir sonraki bölüm, doğal sayılar, tam sayılar, kesirler, ondalık sayılar ve gerçek sayılar üzerinde yoğunlaşacaktır. Ayrıca cebirsel gösterim ve terminolojiyi kullanmaya da başlayacağız.

Doğal Sayılarda Basamak Değerini Kullanma

Cebirde kullanılan en temel sayılar, dünyamızdaki nesneleri saymak için kullandığımız sayılardır: 1, 2, 3, 4 ve bu şekilde devam eder. Bunlara sayma sayıları denir Sayma sayılarına ayrıca doğal sayılar da denir. Sayma sayılarına sıfırı eklersek doğal sayılar kümesini elde ederiz.

Sayma Sayıları: 1, 2, 3, …

Doğal Sayılar: 0, 1, 2, 3, …

‘…’ gösterimine üç nokta denir; ‘ve benzeri’ anlamına gelir ve örüntünün sonsuza kadar sürdüğünü belirtir.

Sayma sayılarını ve doğal sayıları bir sayı doğrusu üzerinde görselleştirebiliriz. Bkz. Şekil 1.

Sayı doğrusundaki sayılar soldan sağa doğru büyür, sağdan sola doğru ise küçülür. Bu sayı doğrusu sadece 0'dan 6'ya kadar olan doğal sayıları gösterse de, sayılar sonsuza kadar devam eder.

Şekil 1

Sayı sistemimize basamak değeri sistemi denir; çünkü bir rakamın değeri, sayı içindeki konumuna bağlıdır. Şekil 2 basamak değerlerini gösterir. Basamak değerleri üçerli gruplara ayrılır ve bu gruplara bölük denir. Bölükler şunlardır: birler, binler, milyonlar, milyarlar, trilyonlar ve bu şekilde devam eder. Yazılı bir sayıda bölükleri virgüller ayırır.

Grafikte 5.278.194 sayısı gösterilmektedir. 5 rakamı milyonlar basamağındadır. 2 rakamı yüz binler basamağındadır. 7 rakamı on binler basamağındadır. 8 rakamı binler basamağındadır. 1 rakamı yüzler basamağındadır. 9 rakamı onlar basamağındadır. 4 rakamı birler basamağındadır.

Şekil 2

ÖRNEK 1

63.407.218 sayısında her bir rakamın basamak değerini bulun:

1. 7
2. 0
3. 1
4. 6
5. 3

Çözüm

Sayıyı basamak değer tablosuna yerleştirin:

a) 7 binler basamağındadır.
b) 0 on binler basamağındadır.
c) 1 onlar basamağındadır.
d) 6 on milyonlar basamağındadır.
e) 3 milyonlar basamağındadır.

DENEYİN 1.1

27.493.615 sayısının her basamağının basamak değerini bulun:

a) 2 b) 1 c) 4 d) 7 e) 5

Yanıtı göster

a) on milyonlar b) onlar c) yüz binler d) milyonlar e) birler

DENEYİN 1.2

519.711.641.328 sayısının her basamağının basamak değerini bulun:

a) 9 b) 4 c) 2 d) 6 e) 7

Yanıtı göster

a) milyarlar b) on binler c) onlar d) yüz binler e) yüz milyonlar

Bir çek yazarken sayıyı hem rakamla hem de yazıyla belirtirsiniz. Bir sayıyı yazıyla ifade etmek için her bölükteki sayıyı yazın ve ardından bölüğün adını ekleyin En büyük değere sahip bölüklerin bulunduğu soldan başlayın. Birler bölüğünün adı söylenmez. Virgüller bölükleri ayırdığı için, sayıda virgül olan her yere yazıda da virgül koyun (bkz. Şekil 3). 74.218.369 sayısı, yetmiş dört milyon iki yüz on sekiz bin üç yüz altmış dokuz olarak yazılır.

Şekil 3

2016 yılında Kanada İstatistik Kurumu Toronto'nun nüfusunu 13.448.494 olarak tahmin etti. Toronto'nun nüfusunun yaklaşık 13,4 milyon olduğunu söyleyebiliriz. Çoğu durumda, tam değere ihtiyaç duymazsınız; yaklaşık bir sayı yeterlidir.

Bir sayıyı yaklaşık olarak ifade etme işlemine yuvarlama denir. Sayılar, ne kadar doğruluk gerektiğine bağlı olarak belirli bir basamak değerine yuvarlanır. Toronto’nun nüfusunun yaklaşık 13,4 milyon olduğunu söylemek, yüz binler basamağına yuvarladığımız anlamına gelir.

ÖRNEK 5

sayısını en yakın:

1. yüzlüğe
2. binliğe
3. on bin

Çözüm

a)

103.978 sayısında yüzler basamağını bulun.
Yüzler basamağının sağındaki rakamın altını çizin.
7, 5’e eşit veya 5’ten büyük olduğundan 9’a 1 ekleyin. Yüzler basamağının sağındaki tüm rakamları sıfırlarla değiştirin.
	Böylece 23.658 sayısı en yakın yüzlüğe yuvarlandığında 23.700 olur.

b)

Binler basamağını bulun ve binler basamağının sağındaki rakamın altını çizin.
9, 5’e eşit veya 5’ten büyük olduğundan 3’e 1 ekleyin. Binler basamağının sağındaki tüm rakamları sıfırlarla değiştirin.
	Böylece 103.978 sayısı en yakın binliğe yuvarlandığında 104.000 olur.

c)

On binler basamağını bulun ve on binler basamağının sağındaki rakamın altını çizin.
3, 5’ten küçük olduğundan 0’ı olduğu gibi bırakırız, sonra sağındaki rakamları sıfırlarla değiştiririz.
	Böylece 103.978 sayısı en yakın on binliğe yuvarlandığında 100.000 olur.

DENEYİN 5.1

206.981 sayısını en yakın sayıya yuvarlayın: a) yüz b) bin c) on bin

Yanıtı göster

a) 207.000 b) 207.000 c) 210.000

DENEYİN 5.2

784.951 sayısını en yakın sayıya yuvarlayın: a) yüz b) bin c) on bin.

Yanıtı göster

a) 785.000 b) 785.000 c) 780.000

Katları Belirleyin ve Bölünebilirlik Testlerini Uygulayın

2, 4, 6, 8, 10 ve 12 sayılarına 2’nin katları denir. 2’nin bir katı, bir sayma sayısı ile 2’nin çarpımı olarak yazılabilir.

Benzer şekilde, 3'ün katı, bir sayma sayısının 3 ile çarpımı olur.

Bu süreci devam ettirerek herhangi bir sayının katlarını bulabiliriz.

Aşağıdaki Tablo 1, ilk 12 sayma sayısı için 2’den 9’a kadar olan sayıların katlarını gösterir.

15’in 3’ün katı olduğunu söylemenin başka bir yolu, 15’in 3’e bölünebildiğini söylemektir. Bu, 15’i 3’e böldüğümüzde bir sayma sayısı elde ettiğimiz anlamına gelir. Gerçekten de işleminin sonucu 5’tir, dolayısıyla 15 = olur.

Tablo 1’deki 5’in katlarına bakın. Tablo 1Hepsi 5 veya 0 ile biter. Son rakamı 5 veya 0 olan sayılar 5’e bölünebilir. Tablo 1 2’den 9’a kadar olan sayıların katlarını gösteren tabloda başka örüntüler ararsak, aşağıdaki bölünebilme kurallarını keşfedebiliriz:

Bölünebilme Kuralları

Bir sayı şunlara bölünebilir:

• 2’ye — son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise.
• Rakamların toplamı 3'e bölünebiliyorsa 3.
• 5’e — son rakamı 5 veya 0 ise.
• 6’ya — hem 2’ye hem de 3’e bölünebiliyorsa.
• 10’a — 0 ile bitiyorsa.

ÖRNEK 6

5625 sayısı 2'ye bölünebilir mi? 3'e? 5'e? 6'ya? 10'a?

Çözüm

5.625 sayısı 2’ye bölünebilir mi?
0, 2, 4, 6 veya 8 ile mi bitiyor?	Hayır. 5.625 sayısı 2’ye bölünemez.
5.625 sayısı 3’e bölünebilir mi?
Rakamların toplamı nedir?
Toplam 3’e bölünebilir mi?	Evet. 5.625 sayısı 3’e bölünebilir.
5.625 sayısı 5’e veya 10’a bölünebilir mi?
Son rakam nedir? 5’tir.	5.625 sayısı 5’e bölünebilir ama 10’a bölünemez.
5.625 sayısı 6’ya bölünebilir mi?
Hem 2’ye hem de 3’e bölünebilir mi?	Hayır; 5.625 sayısı 2’ye bölünemediğinden 6’ya da bölünemez.

DENEYİN 6.1

4962 sayısının 2'ye, 3'e, 5'e, 6'ya ve 10'a bölünebilir olup olmadığını belirleyin.

Yanıtı göster

2’ye, 3’e ve 6’ya bölünür

DENEYİN 6.2

3765 sayısının 2'ye, 3'e, 5'e, 6'ya ve 10'a bölünebilir olup olmadığını belirleyin.

Yanıtı göster

3’e ve 5’e bölünür

Asal Çarpanlara Ayırma ve En Küçük Ortak Katları Bulma

Matematikte aynı fikirleri ifade etmenin çoğu zaman birkaç yolu vardır. Şimdiye kadar gördük ki, eğer m sayısı n’nin katıysa, m sayısının n’ye bölünebildiğini söyleyebiliriz. Örneğin 72, 8’in katı olduğundan 72’nin 8’e bölünebildiğini söyleriz. 72, 9’un katı olduğundan 72’nin 9’a bölünebildiğini söyleriz. Bunu bir başka şekilde de ifade edebiliriz.

Madem ki , o hâlde 8 ve 9’un 72’nin çarpanları olduğunu söyleriz. yazdığımızda 72’yi çarpanlarına ayırmış oluruz.

72’yi çarpanlarına ayırmanın diğer yolları şeklindedir. 72’nin birçok çarpanı vardır: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36 ve 72.

Şekil 4

20’den küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19’dur. Tek çift asal sayının 2 olduğuna dikkat edin.

Bir bileşik sayı, asalların tek bir çarpımı olarak yazılabilir. Buna sayının asal çarpanlara ayrılışı denir. Bir bileşik sayının asal çarpanlarını bulmak bu dersin ilerleyen kısımlarında işe yarayacak.

Bileşik bir sayının asal çarpanlarına ayrılmasını bulmak için, sayının herhangi iki çarpanını bulun ve bunları kullanarak iki dal oluşturun. Eğer bir çarpan asal ise, o dal tamamlanmıştır. O asal sayıyı daire içine alın!

Çarpan asal değilse, sayının iki çarpanını bulun ve işleme devam edin. Tüm dallar sonunda asal sayıları çevrelediğinde, çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmış olur. Bileşik sayı artık asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir.

ÖRNEK 8

252'nin asal çarpanlarına ayrılmış halini bulun.

Çözüm

Adım 1. Çarpımı 252 olan iki çarpan bulun. 12 ve 21 asal değildir. 12 ve 21'i ikişer çarpanına ayırın. Tüm asal sayılar çarpanlarına ayrılana kadar devam edin.
Adım 2. 252’yi, yuvarlak içine alınmış tüm asalların çarpımı olarak yazın.

DENEYİN 8.1

126'nın asal çarpanlarına ayrılmış halini bulun.

Yanıtı göster

DENE

294'ün asal çarpanlarına ayrılmış halini bulun.

Yanıtı göster

Katlara ve asal sayılara bakmamızın nedenlerinden biri, bu teknikleri iki sayının en küçük ortak katını bulmak için kullanmaktır. Bu, farklı paydalı kesirleri toplarken ve çıkarırken işe yarayacaktır. En küçük ortak katı bulmak için en sık iki yöntem kullanılır ve biz ikisine de bakacağız.

İlk yöntem, Katları Listeleme Yöntemi'dir. 12 ve 18'in en küçük ortak katını bulmak için, 12 ve 18'in ilk birkaç katını listeleriz:

Bazı sayıların her iki listede de göründüğüne dikkat edin. Bunlar 12 ile 18’in ortak katlarıdır.

12 ve 18’in ilk birkaç ortak katının 36, 72 ve 108 olduğunu görüyoruz. 36, ortak katların en küçüğü olduğundan ona en küçük ortak kat deriz. Genellikle EKOK kısaltmasını kullanırız.

İşlem kutusu, yukarıda 12 ve 18 için kullandığımız asal çarpanlar yöntemini kullanarak en küçük ortak katı (EKOK) bulmak için izlenecek adımları listeler.

ÖRNEK 9

15 ve 20'nin en küçük ortak katını, katlarını listeleyerek bulun.

Çözüm

15’in ve 20’nin ilk birkaç katının listesini yapın ve en küçük ortak katı bulmak için bunları kullanın.
Her iki listede de görünen en küçük sayıyı bulun.	Her iki listede de görünen ilk sayı 60’tır; dolayısıyla 15 ile 20’nin en küçük ortak katı 60’tır.

120 sayısının da her iki listede olduğuna dikkat edin. O da bir ortak kattır ama en küçük ortak kat değildir.

DENEYİN 9.1

9 ve 12'nin katlarını listeleyerek en küçük ortak katı bulun:

Yanıtı göster

36

DENEYİN 9.2

Katlarını listeleyerek en küçük ortak katı bulun: 18 ve 24

Yanıtı göster

72

İki sayının en küçük ortak katını bulmanın ikinci yöntemi, Asal Çarpanlar Yöntemi'ni kullanmaktır. Bu sefer asal çarpanlarını kullanarak 12 ve 18'in en küçük ortak katını bulalım.

12’nin asal çarpanları ile 18’in asal çarpanlarının EKOK’a dahil edildiğine dikkat edin. Böylece 12 ve 18’in en küçük ortak katı 36’dır.

Ortak asalları eşleştirerek her ortak asal çarpanı yalnızca bir kez kullanırız. Bu şekilde 36’nın gerçekten en küçük ortak kat olduğundan emin olursunuz.

ÖRNEK 11

Asal çarpanlar yöntemini kullanarak 24 ve 36'nın En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulun.

Çözüm

24 ve 36'nın asal sayılarını bulun. Mümkün olduğunda asalları alt alta eşleştirin. Tüm sütunları aşağıya indirin.
Çarpanları çarpın.
	24 ve 36’nın EKOK’u 72’dir.

DENEYİN 11.1

Asal çarpanlar yöntemini kullanarak EKOK'u bulun: 21 ve 28

Yanıtı göster

84

DENEYİN 11.2

Asal çarpanlar yöntemini kullanarak EKOK'u bulun: 24 ve 32

Yanıtı göster

96

Temel Kavramlar

• Basamak Değeri — bkz. Şekil 2.
• Bir Doğal Sayıyı Yazıyla İfade Etme
  1. Soldan başlayarak her bölükteki sayıyı ve ardından bölük adını yazın.
  2. Bölükleri ayırmak için sayıya virgül koyun.
  3. Birler bölüğünün adını söylemeyin.
• Bir Doğal Sayıyı Rakamlarla Yazma
  1. Bölükleri gösteren kelimeleri belirleyin. (Birler bölüğünün adlandırılmadığını unutmayın.)
  2. Her bölükte gereken basamak sayısını belirtmek için 3 boşluk çizin. Bölükleri virgülle ayırın.
  3. Her bölükteki sayıyı adlandırın ve rakamları doğru basamak değerine göre yerleştirin.
• Doğal Sayıları Yuvarlama
  1. Verilen basamak değerini bulun ve bir okla işaretleyin. Okun solundaki tüm rakamlar değişmez.
  2. Verilen basamak değerinin sağındaki rakamın altını çiziniz.
  3. Bu rakam 5'ten büyük mü yoksa 5'e eşit mi?
     • Evet—verilen basamak değerindeki rakama 1 ekleyin.
     • Hayır — verilen basamaktaki rakamı değiştirmeyin.
  4. Verilen basamak değerinin sağındaki tüm rakamları sıfırla değiştirin.
• Bölünebilme Kuralları: Bir sayı şu koşullarda bölünebilir:
  • 2’ye — son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise.
  • Rakamların toplamı 3'e bölünebiliyorsa 3.
  • 5’e — son rakamı 5 veya 0 ise.
  • 6’ya — hem 2’ye hem de 3’e bölünebiliyorsa.
  • 10’a — 0 ile bitiyorsa.
• Bir Bileşik Sayının Asal Çarpanlarını Bulma
  1. Verilen sayıyı çarpımıyla veren iki çarpan bulun ve bu sayıları kullanarak iki dal oluşturun.
  2. Bir çarpan asal sayı ise, o dal tamamlanmıştır. Asal sayıyı, ağaçtaki bir tomurcuk gibi daire içine alın.
  3. Bir çarpan asal değilse, onu iki çarpanın çarpımı olarak yazın ve işleme devam edin.
  4. Çember içine alınmış tüm asal sayıların çarpımı şeklinde bileşik sayıyı yazın.
• Katları Listeleyerek En Küçük Ortak Katı Bulma
  1. Her sayının birkaç katını listeleyin.
  2. Her iki listede de yer alan en küçük sayıyı bulun.
  3. Bu sayı, en küçük ortak kattır (EKOK).
• Asal Çarpanlar Yöntemiyle En Küçük Ortak Katı Bulma
  1. Her sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazın.
  2. Her sayının asal sayılarını listeleyin. Mümkünse asal sayıları dikey olarak eşleştirin.
  3. Sütunları indirin.
  4. Çarpanları çarpın.

Sözlük

bileşik sayı

Bileşik sayı, asal olmayan bir sayma sayısıdır. Bileşik sayının 1 ve kendisinden başka çarpanları vardır.

sayma sayıları

Sayma sayıları 1, 2, 3,... sayılarıdır.

bir sayıya bölünebilir

Bir sayısı ’nin katıysa, sayısı ’ye bölünebilir. (6, 3’ün katıysa, 6, 3’e bölünebilir.)

çarpanlar

Eğer ise, sayıları ’nin çarpanlarıdır. 3 · 4 = 12 olduğundan 3 ve 4, 12’nin çarpanlarıdır.

en küçük ortak kat

İki sayının en küçük ortak katı, her iki sayının da katı olan en küçük sayıdır.

bir sayının katı

Bir sayı, bir sayma sayısı ile n’nin çarpımıysa o sayı n’nin katıdır.

sayı doğrusu

Sayı doğrusu, sayıları görselleştirmek için kullanılır. Sayı doğrusundaki sayılar soldan sağa doğru büyür, sağdan sola doğru ise küçülür.

başlangıç noktası (orijin)

Başlangıç ​​noktası, sayı doğrusunda 0 ile işaretlenmiş noktadır.

asal çarpanlara ayırma

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması, o sayıya eşit olan asal sayıların çarpımıdır.

asal sayı

Asal sayı, 1'den büyük ve yalnızca 1 ile kendisini çarpan olarak alan bir sayma sayısıdır.

doğal sayılar

Doğal sayılar 0, 1, 2, 3, … sayılarıdır.

Alıştırmalar

Doğal Sayılarda Basamak Değerini Kullanma

Aşağıdaki alıştırmalarda, verilen sayılardaki her rakamın basamak değerini bulunuz.

1. 51,493 a) 1 b) 4 c) 9 d) 5 e) 3	2. 87,210 a) 2 b) 8 c) 0 d) 7 e) 1
3. 164,285 a) 5 b) 6 c) 1 d) 8 e) 2	4. 395,076 a) 5 b) 3 c) 7 d) 0 e) 9
5. 93,285,170 a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 3	6. 36,084,215 a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
7. 7,284,915,860,132 a) 7 b) 4 c) 5 d) 3 e) 0	8. 2,850,361,159,433 a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

Aşağıdaki alıştırmalarda, her bir sayıyı kelimelerle adlandırın.

9. 1,078	10. 5,902
11. 364,510	12. 146,023
13. 5,846,103	14. 1,458,398
15. 37,889,005	16. 62,008,465

Aşağıdaki alıştırmalarda, her sayıyı rakamlar kullanarak doğal sayı olarak yazın.

17. dört yüz on iki	18. iki yüz elli üç
19. otuz beş bin dokuz yüz yetmiş beş	20. altmış bir bin dört yüz on beş
21. on bir milyon kırk dört bin yüz altmış yedi	22. on sekiz milyon yüz iki bin yedi yüz seksen üç
23. üç milyar iki yüz yirmi altı milyon beş yüz on iki bin on yedi	24. on bir milyar dört yüz yetmiş bir milyon otuz altı bin yüz altı

Aşağıdakileri belirtilen basamak değerine yuvarlayın.

25. En yakın onluğa yuvarlayın. a) 386 b) 2.931	26. En yakın onluğa yuvarlayın. a) 792 b) 5.647
27. En yakın yüze yuvarlayın. a) 13.748 b) 391.794	28. En yakın yüze yuvarlayın. a) 28.166 b) 481.628
29. En yakın onluğa yuvarlayın. a) 1.492 b) 1.497	30. En yakın onluğa yuvarlayın. a) 2.791 b) 2.795
31. En yakın yüze yuvarlayın. a) 63.994 b) 63.940	32. En yakın yüze yuvarlayın. a) 49.584 b) 49.548

Aşağıdaki alıştırmalarda, her sayıyı en yakın a) yüzlüğe, b) bine, c) on bine yuvarlayın.

33. 392,546	34. 619,348
35. 2,586,991	36. 4,287,965

Katları ve Çarpanları Belirleme

Aşağıdaki alıştırmalarda, bölünebilirlik testlerini kullanarak her sayının 2, 3, 5, 6 ve 10'a bölünebilir olup olmadığını belirleyin.

37. 84	38. 9,696
39. 75	40. 78
41. 900	42. 800
43. 986	44. 942
45. 350	46. 550
47. 22,335	48. 39,075

Asal Çarpanlara Ayırma ve En Küçük Ortak Katları Bulma

Aşağıdaki alıştırmalarda sayıları asal çarpanlarına ayırın.

49. 86	50. 78
51. 132	52. 455
53. 693	54. 400
55. 432	56. 627
57. 2,160	58. 2,520

Aşağıdaki alıştırmalarda, katlar yöntemini kullanarak her bir sayı çiftinin en küçük ortak katını bulun.

59. 8, 12	60. 4, 3
61. 12, 16	62. 30, 40
63. 20, 30	64. 44, 55

Aşağıdaki alıştırmalarda, asal çarpanlar yöntemini kullanarak her sayı çiftinin en küçük ortak katını bulun.

65. 8, 12	66. 12, 16
67. 28, 40	68. 84, 90
69. 55, 88	70. 60, 72

Günlük Matematik

71. Çek Yazma Jorge bir arabayı 24.493 $’a satın aldı. Arabanın parasını çekle ödedi. Satın alma bedelini yazıyla ifade edin.	72. Çek Yazma Marissa’nın mutfak yenileme masrafı 18.549 $ oldu. Yükleniciye bir çek yazdı. Ödenen tutarı yazıyla ifade edin.
73. Araba Satın Alma Jorge bir arabayı 24.493 $’a satın aldı. Fiyatı en yakın a) onluğa, b) yüzlüğe, c) binliğe ve d) on binliğe yuvarlayın.	74. Mutfak Yenileme Marissa’nın mutfak yenileme masrafı 18.549 $ oldu. Masrafı en yakın a) onluğa, b) yüzlüğe, c) binliğe ve d) on binliğe yuvarlayın.
75. Nüfus Çin’in nüfusu 1 Kasım 2010’da 1.339.724.852 idi. Nüfusu en yakın a) milyara, b) yüz milyona ve c) milyona yuvarlayın.	76. Astronomi Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık 149.597.888 kilometredir. Uzaklığı en yakın a) yüz milyona, b) on milyona ve c) milyona yuvarlayın.
77. Market Alışverişi Sosisliler 10’lu paketlerde, sosisli ekmekleri ise 8’li paketlerde satılıyor. Sosislilerle ekmeklerin tam olarak eşitlendiği en küçük sayı kaçtır?	78. Market Alışverişi Kağıt tabaklar 12’li paketlerde, parti bardakları ise 8’li paketlerde satılıyor. Tabaklarla bardakların tam olarak eşitlendiği en küçük sayı kaçtır?

Yazma Alıştırmaları

79. Asal sayılarla bileşik sayılar arasındaki fark nedir?	80. Sayıları yuvarlamanın işe yaradığı günlük bir örnek verin.
81. Tercih ettiğiniz herhangi bir yöntemi kullanarak bir bileşik sayının asal çarpanlarını nasıl bulacağınızı kendi cümlelerinizle açıklayın.

Cevaplar

1. a) binler b) yüzler c) onlar d) on binler e) birler	3. a) birler b) on binler c) yüz binler d) onlar e) yüzler	5. a) on milyonlar b) on binler c) onlar d) binler e) milyonlar
7. a) trilyonlar b) milyarlar c) milyonlar d) onlar e) binler	9. bin yetmiş sekiz	11. üç yüz altmış dört bin beş yüz on
13. beş milyon sekiz yüz kırk altı bin yüz üç	15. otuz yedi milyon sekiz yüz seksen dokuz bin beş	17. 412
19. 35.975	21. 11.044.167	23. 3.226.512.017
25. a) 390 b) 2.930	27. a) 13.700 b) 391.800	29. a) 1.490 b) 1.500
31. a) 64.000 b) 63.900	33. a) 392.500 b) 393.000 c) 390.000	35. a) 2.587.000 b) 2.587.000 c) 2.590.000
37. 2’ye, 3’e ve 6’ya bölünür	39. 3’e ve 5’e bölünür	41. 2’ye, 3’e, 5’e, 6’ya ve 10’a bölünür
43. 2’ye bölünür	45. 2’ye, 5’e ve 10’a bölünür	47. 3’e ve 5’e bölünür
49.	51.	53.
55.	57.	59. 24
61. 48	63. 60	65. 24
67. 420	69. 440	71. yirmi dört bin dört yüz doksan üç dolar
73. a) 24.490 $ b) 24.500 $ c) 24.000 $ d) 20.000 $	75. a) 1.000.000.000 b) 1.300.000.000 c) 1.340.000.000	77. 40
79. Cevaplar değişebilir.	81. Cevaplar değişebilir.

Atıflar

Bu bölüm, Temel Cebir (OpenStax), Lynn Marecek ve MaryAnne Anthony-Smith tarafından CC BY 4.0 Lisansı altındadır. Izabela Mazur tarafından uyarlanmıştır. Daha fazla bilgi için Telif Hakkı sayfasına bakın.

Değişkenleri ve Cebirsel Sembolleri Kullanın

Greg ve Alex’in doğum günleri aynı, ama farklı yıllarda doğmuşlar. Bu yıl Greg yaşında, Alex ise yaşında; yani Alex, Greg’den yaş büyük. Greg yaşındayken Alex yaşındaydı. Greg yaşına geldiğinde Alex yaşında olacak. Greg’in yaşı ne olursa olsun Alex’in yaşı her zaman yaş fazla olacak, değil mi?

Cebir dilinde Greg’in yaşının ve Alex’in yaşının değişken, üç sayısının ise bir sabit olduğunu söyleriz. Yaşlar değişir, dolayısıyla yaş bir değişkendir. Aralarındaki yaş her zaman aynı kaldığından, yaş farkı sabittir.

Cebirde değişkenleri temsil etmek için alfabenin harfleri kullanılır. Diyelim ki Greg’in yaşına diyelim. O hâlde Alex’in yaşını ile gösterebiliriz. Aşağıdaki tabloya bakın.

Greg’in yaşı	Alex’in yaşı

Değişkenleri temsil etmek için harfler kullanılır. Değişkenler için sık kullanılan harfler ’dir.

Cebirsel yazmak için sayıların ve değişkenlerin yanı sıra bazı sembollere de ihtiyacımız var. Kullanacağımız birkaç sembol türü vardır. 1.1 Doğal Sayılar bölümünde dört temel aritmetik işlemin: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme sembollerini tanıttık. Bunları; işlemler ve sonuçları için kullandığımız kelimelerle birlikte burada özetliyoruz.

İşlem	Gösterim	Okunuşu:	Sonucun adı…
Toplama			ile toplamı
Çıkarma			ile farkı
Çarpma			ile çarpımı
Bölme		bölü	ile bölümü

Cebirde çarpmayı göstermek için çarpı sembolü × kullanılmaz; çünkü bu sembol karışıklığa yol açabilir. ifadesi mü (üç kere ) yoksa mü (üç kere ) demek? Karışıklığı önlemek için çarpmada • sembolünü ya da parantez kullanın.

Bu işlemleri iki sayı üzerinde yaparız. Sembolik biçimden kelimelere ya da kelimelerden sembolik biçime çevirirken, sayıları bulmanıza yardımcı olması için ‘ile’ ya da ‘ve’ kelimelerine dikkat edin.

• ile toplamı, artı demektir ve bunu şeklinde yazarız.
• ile farkı, eksi demektir ve bunu şeklinde yazarız.
• ile çarpımı, çarpı demektir ve bunu şeklinde yazabiliriz.
• ile bölümü, bölü demektir ve bunu şeklinde yazabiliriz.

ÖRNEK 1

Cebirsel ifadeleri kelimelere çevirmek:

1. 
2. 
3. 
4. 

Çözüm

a.

12 artı 14

on iki ile on dördün toplamı

b.

30 çarpı 5

otuz ile beşin çarpımı

c.

64 bölü 8

altmış dört ile sekizin bölümü

d.

eksi

ile

İki nicelik aynı değere sahip olduğunda bunların eşit olduğunu söyler ve onları bir eşittir işareti ile bağlarız.

Bir eşitsizlik sembolünün altına bir çizgi koyduğumuzda, örneğin , bu ya da anlamına gelir. Bunu şöyle okuruz: , küçük ya da eşittir. Ayrıca, bir eşittir işaretinin üzerine eğik çizgi koyarsak, bu eşit değildir anlamına gelir.

Eşitlik ve eşitsizlik sembollerini aşağıdaki tabloda özetliyoruz.

Cebirsel Gösterim	Okunuşu
	eşittir
	eşit değildir
<	küçüktür
>	büyüktür
	küçük ya da eşittir
	büyük ya da eşittir

< ve > sembolleri

< ve > sembollerinin her birinin daha küçük ve daha büyük bir kenarı vardır.

küçük kenar < büyük kenar
büyük kenar > küçük kenar

Sembolün küçük yüzü küçük sayıya, büyük yüzü ise büyük sayıya bakar.

ÖRNEK 2

Cebirsel ifadeleri kelimelere çevirmek:

1. 
2. 
3. >
4. <

Çözüm

a.

20, 35’e küçük ya da eşittir

b.

11, 15 eksi 3’e eşit değildir

c.

>

9, 10 bölü 2’den büyüktür

d.

<

artı 2, 10’dan küçüktür

DENEYİN 2.1

Cebirsel ifadeleri kelimelere çevirmek.

1. 
2. 
3. >
4. <

Yanıtı göster

1. on dört, yirmi yediye küçük ya da eşittir
2. on dokuz eksi iki, sekize eşit değildir
3. on iki, dört bölü ikiden büyüktür
4. x eksi yedi, birden küçüktür

ÖRNEK 3

Aşağıdaki (Şekil 1), birkaç arabanın galon başına mil (mpg) cinsinden yakıt ekonomisini karşılaştırıyor. Arabaların yakıt ekonomisini karşılaştırmak için her ifadeye uygun sembolü < > yazın.

Şekil 1

1. Prius'un yakıt tüketimi (MPG) _____ Mini Cooper'ın yakıt tüketimi (MPG)
2. Versa'nın yakıt tüketimi (MPG) _____ Fit'in yakıt tüketimi (MPG)
3. Mini Cooper'ın yakıt tüketimi (MPG) _____ Fit'in yakıt tüketimi (MPG)
4. Corolla'nın yakıt tüketimi (MPG) _____ Versa'nın yakıt tüketimi (MPG)
5. Corolla'nın yakıt tüketimi (MPG) _____ Prius'un yakıt tüketimi (MPG)

Çözüm

a.
	Prius’un MPG değeri ____ Mini Cooper’ın MPG değeri
Değerleri tabloda bulun.	48 ____ 27
Karşılaştırın.	48 > 27
	Prius’un MPG değeri > Mini Cooper’ın MPG değeri

b.
	Versa’nın MPG değeri ____ Fit’in MPG değeri
Değerleri tabloda bulun.	26 ____ 27
Karşılaştırın.	26 < 27
	Versa’nın MPG değeri < Fit’in MPG değeri

c.
	Mini Cooper’ın MPG değeri ____ Fit’in MPG değeri
Değerleri tabloda bulun.	27 ____ 27
Karşılaştırın.	27 = 27
	Mini Cooper’ın MPG değeri = Fit’in MPG değeri

d.
	Corolla’nın MPG değeri ____ Versa’nın MPG değeri
Değerleri tabloda bulun.	28 ____ 26
Karşılaştırın.	28 > 26
	Corolla’nın MPG değeri > Versa’nın MPG değeri

e.
	Corolla’nın MPG değeri ____ Prius’un MPG değeri
Değerleri tabloda bulun.	28 ____ 48
Karşılaştırın.	28 < 48
	Corolla’nın MPG değeri < Prius’un MPG değeri

DENEYİN 3.1

Şekil 1’i kullanarak uygun sembolü yazın: < >.

1. Prius'un yakıt tüketimi (MPG) _____ Versa'nın yakıt tüketimi (MPG)
2. Mini Cooper'ın yakıt tüketimi (MPG) _____ Corolla'nın yakıt tüketimi (MPG)

Yanıtı göster

1. >
2. <

DENEYİN 3.2

Şekil 1’i kullanarak uygun sembolü yazın: < >.

1. Fit'in yakıt tüketimi (MPG) _____ Prius'un yakıt tüketimi (MPG)
2. Corolla'nın yakıt tüketimi (MPG) _____ Fit'in yakıt tüketimi (MPG)

Yanıtı göster

1. <
2. <

Cebirdeki gruplandırma sembolleri, yazılı dildeki virgül, iki nokta üst üste ve diğer noktalama işaretlerine çok benzer. Hangi ifadelerin birlikte tutulacağını ve hangilerinin diğer ifadelerden ayrı tutulacağını gösterirler. Aşağıdaki tabloda cebirde en sık kullanılan üç gruplandırma sembolü listelenmiştir.

Yaygın Gruplama Sembolleri

parantez
köşeli parantez
küme parantezi

Burada gruplandırma sembolleri içeren bazı ifade örnekleri verilmiştir. Bu bölümde daha sonra bu tür ifadeleri basitleştireceğiz.

İfadeleri ve Denklemleri Tanımlama

İngilizcede kelime öbeği ile cümle arasındaki fark nedir? Kelime öbeği, kendi başına eksik olan tek bir düşünceyi ifade ederken, cümle tam bir ifade oluşturur. "Çok hızlı koşmak" bir kelime öbeğidir, ancak "Futbolcu çok hızlı koşuyordu" bir cümledir. Bir cümlenin öznesi ve yüklemi vardır.

Cebirde ifadeler ve denklemler vardır. Bir ifade bir öbeğe benzer. İşte bazı ifade örnekleri ve bunların kelime öbekleriyle ilişkisi:

İfade	Kelimeler	Öbek
		üç ile beşin toplamı
	eksi bir	ile birin farkı
		altı ile yedinin çarpımı
	bölü	ile

Öbeklerin tam bir cümle oluşturmadığına dikkat edin; çünkü öbekte yüklem yoktur. Bir denklem, bir eşittir işaretiyle bağlanmış iki ifadedir. Bir denklemdeki sembollerin temsil ettiği kelimeleri okuduğunuzda, tam bir cümle elde edersiniz. Eşittir işareti yüklemi verir. İşte bazı denklem örnekleri:

Denklem	Cümle
	Üç ile beşin toplamı sekize eşittir.
	eksi bir, on dörde eşittir.
	Altı ile yedinin çarpımı kırk ikiye eşittir.
	elli üçe eşittir.
	artı dokuz, iki eksi üçe eşittir.

İfadeler ve Denklemler

Bir ifade, bir sayı, bir değişken veya sayıların, değişkenlerin ve işlem sembollerinin bir kombinasyonudur.

Denklem, bir eşitlik işaretiyle birbirine bağlanan iki ifadeden oluşur.

ÖRNEK 4

Her birinin ifade mi yoksa denklem mi olduğunu belirleyin:

1. 
2. 
3. 
4. 

Çözüm

a.	Bu bir denklemdir — iki ifade bir eşittir işaretiyle bağlanmıştır.
b.	Bu bir ifadedir — eşittir işareti yok.
c.	Bu bir ifadedir — eşittir işareti yok.
d.	Bu bir denklemdir — iki ifade bir eşittir işaretiyle bağlanmıştır.

DENEYİN 4.1

Her birinin ifade mi yoksa denklem mi olduğunu belirleyin:

1. 
2. 

Yanıtı göster

1. denklem
2. ifade

DENEYİN 4.2

Her birinin ifade mi yoksa denklem mi olduğunu belirleyin:

1. 
2. 

Yanıtı göster

1. ifade
2. denklem

Üslü İfadeleri Basitleştirme

Sayısal bir ifadeyi sadeleştirmek, yapılabilecek tüm işlemleri yapmak demektir. Örneğin, ifadesini sadeleştirmek için önce işlemini yapıp sonucunu bulur, sonra da ekleyerek sonucunu elde ederiz. Geliştirilmesi iyi bir alışkanlık, sayfada aşağıya doğru ilerleyip her adımı bir önceki adımın altına yazmaktır. Az önce anlatılan örnek şöyle görünür:

Diyelim ki ifadesine sahibiz. Bunu üslü gösterim kullanarak daha kısa yazabiliriz. Üslü gösterim, cebirde bir niceliğin kendisiyle birkaç kez çarpılmasını göstermek için kullanılır. ifadesini , ifadesini ise şeklinde yazarız. Örneğin ifadesinde tabana, ise üsse denir. Üs, tabanın kaç çarpanını çarpmamız gerektiğini söyler.

Şunu söyleriz: üslü gösterimdedir, ise açık gösterimdedir.

Üslü Gösterim

Herhangi bir ifadesi için, pozitif bir tam sayıysa ifadesi, kendisiyle o kadar kez çarpılan bir çarpandır.

ifadesi, şöyle okunur: ‘ kuvveti.

ve kuvvetleri için özel adlarımız vardır.

Aşağıdaki tabloda üslü gösterimle yazılmış bazı ifade örnekleri verilmiştir.

Üslü Gösterim	Kelimelerle
	üzeri iki, ya da karesi
	üzeri üç, ya da küpü
	üzeri dört
	üzeri beş

ÖRNEK 5

Her ifadeyi üslü biçimde yazın:

1. 
2. 
3. 
4. 

Çözüm

a. 16 tabanı 7 kez çarpandır.
b. 9 tabanı 5 kez çarpandır.
c. tabanı 4 kez çarpandır.
d. tabanı 8 kez çarpandır.

DENEYİN 5.1

Her ifadeyi üslü biçimde yazın:

Yanıtı göster

41⁵

DENEYİN 5.2

Her ifadeyi üslü biçimde yazın:

Yanıtı göster

7⁹

Üstel bir ifadeyi hesap makinesi kullanmadan sadeleştirmek için, ifadeyi açılımlı biçimde yazıp ardından çarpanlarını çarparız.

ÖRNEK 7

Sadeleştirin: .

Çözüm

İfadeyi açın.
Soldan sağa çarpın.
Çarpın.

İşlem Önceliğiyle İfadeleri Sadeleştirme

Cebirde kullanılan sembol ve gösterimlerin çoğunu tanıttık; ama şimdi işlem önceliğini netleştirmemiz gerekiyor. Aksi hâlde ifadeler farklı anlamlara gelebilir ve farklı değerler verebilir.

Örneğin, şu ifadeyi ele alalım:

Her sorunun birden fazla farklı doğru cevabı olsaydı ortaya çıkabilecek karışıklığı hayal edin. Aynı ifade aynı sonucu vermelidir. Bu nedenle matematikçiler, bir ifadenin bölümlerinin hangi sırayla basitleştirilmesi gerektiğini belirten işlem önceliği adı verilen bazı kurallar belirlediler.

ÖRNEK 8

İfadeleri sadeleştirin:

1. 
2. 

Çözüm

a.
Hiç parantez var mı? Hayır.
Hiç üs var mı? Hayır.
Hiç çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Önce çarpın.
Toplayın.

b.
Hiç parantez var mı? Evet.
Parantezin içini sadeleştirin.
Hiç üs var mı? Hayır.
Hiç çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Çarpın.

DENEYİN 8.1

İfadeleri sadeleştirin:

1. 
2. 

Yanıtı göster

1. 2
2. 14

DENEYİN 8.2

İfadeleri sadeleştirin:

1. 
2. 

Yanıtı göster

1. 35
2. 99

ÖRNEK 9

Sadeleştirin:

1. 
2. 

Çözüm

a.
Hiç parantez var mı? Hayır.
Hiç üs var mı? Hayır.
Hiç çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Soldan sağa çarpıp bölün. Bölün.
Çarpın.

b.
Hiç parantez var mı? Hayır.
Hiç üs var mı? Hayır.
Hiç çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Soldan sağa çarpıp bölün.
Çarpın.
Bölün.

DENEYİN 9.1

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

18

DENEYİN 9.2

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

9

ÖRNEK 10

Sadeleştirin: .

Çözüm

Parantez var mı? Evet, önce çıkarın.
Üs var mı? Hayır.
Çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Soldan sağa çarpıp böldüğümüz için önce bölün.
Başka çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Çarpın.
Başka çarpma ya da bölme var mı? Hayır.
Hiç toplama ya da çıkarma var mı? Evet.

Birden fazla gruplandırma sembolü olduğunda, önce en içteki parantezleri sadeleştirir ve dışa doğru ilerleriz.

ÖRNEK 11

.

Çözüm

Hiç parantez (ya da başka bir gruplama sembolü) var mı? Evet.
Köşeli parantezlerin içindeki parantezlere odaklanın.
Çıkarın.
Köşeli parantezlerin içinde devam edin ve çarpın.
Köşeli parantezlerin içinde devam edin ve çıkarın.
Köşeli parantezlerin içindeki ifade daha fazla sadeleştirme gerektirmez.
Hiç üs var mı? Evet.
Üsleri sadeleştirin.
Hiç çarpma ya da bölme var mı? Evet.
Çarpın.
Hiç toplama ya da çıkarma var mı? Evet.
Toplayın.
Toplayın.

ÖRNEK 12

Sadeleştirin: .

Çözüm

Bir ifadede birden fazla üs varsa, bunlar aynı adımda sadeleştirilebilir.
Üsleri sadeleştirin.
Bölün.
Toplayın.
Çıkarın.

DENEYİN 12.1

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

81

DENEYİN 12.2

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

75

EK ÇEVRİMİÇİ KAYNAKLARA ERİŞİN

Temel Kavramlar

İşlem	Gösterim	Okunuşu:	Sonucun adı…
Toplama			ile toplamı
Çarpma			ile çarpımı
Çıkarma			ile farkı
Bölme		bölü	ile bölümü

• Eşittir Sembolü
  • şöyle okunur: eşittir
  • Şu sembole eşittir işareti denir.
• Eşitsizlik
  • < şöyle okunur: küçüktür
  • sayı doğrusunda solundadır
    
  • > şöyle okunur: büyüktür
  • sağındadır
    

Cebirsel Gösterim	Okunuşu
	eşittir
	eşit değildir
<	küçüktür
>	büyüktür
	küçük ya da eşittir
	büyük ya da eşittir

• Üslü Gösterim
  • Herhangi bir ifadesi, pozitif bir tam sayıysa, kendisiyle kez çarpılan bir çarpandır.
  • , tabanının
    
  • ifadesi şöyle okunur: kuvveti.

İşlem Önceliği Matematiksel ifadeleri sadeleştirirken işlemleri şu sırayla yapın:

• Parantezler ve Diğer Gruplama Sembolleri: Parantezlerin veya diğer gruplama sembollerinin içindeki tüm ifadeleri, en içteki parantezlerden başlayarak basitleştirin.
• Üslü ifadeler: Üslü ifadeler içeren tüm ifadeleri sadeleştirin.
• Çarpma ve Bölme: Tüm çarpma ve bölme işlemlerini soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirin. Bu işlemlerin önceliği eşittir.
• Toplama ve Çıkarma: Tüm toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirin. Bu işlemlerin önceliği eşittir.

Sözlük

Alıştırmalar

Değişkenleri ve Cebirsel Sembolleri Kullanın

Aşağıdaki alıştırmalarda, cebirsel gösterimden kelimelere çeviri yapın.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11. <	12. <
13.	14.
15.	16.
17. >	18. >
19.	20.
21.	22.

İfadeleri ve Denklemleri Tanımlama

Aşağıdaki alıştırmalarda, her birinin bir ifade mi yoksa bir denklem mi olduğunu belirleyin.

23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Üslü İfadeleri Basitleştirme

Aşağıdaki alıştırmalarda, ifadeleri üslü biçimde yazınız.

31.	32.
33.	34.

Aşağıdaki alıştırmalarda, genişletilmiş biçimde yazınız.

35.	36.
37.	38.

İşlem Önceliğiyle İfadeleri Sadeleştirme

Aşağıdaki alıştırmalarda sadeleştirin.

39. a. b.	40. a. b.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.
61.	62.
63.	64.

Günlük Matematik

65. Basketbol 2014 NBA playofflarında San Antonio Spurs, Miami Heat’i yendi. Aşağıdaki tabloda her takımın ilk beşteki oyuncularının boyları gösterilmektedir. Uygun sembolü ( =, <, > ) yazmak için bu tabloyu kullanın. Spurs Boy Heat Boy Tim Duncan Rashard Lewis Boris Diaw LeBron James Kawhi Leonard Chris Bosh Tony Parker Dwyane Wade Danny Green Ray Allen Tim Duncan'ın boyu____Rashard Lewis'in boyu Boris Diaw'ın boyu____LeBron James'in boyu Kawhi Leonard'ın boyu____Chris Bosh'un boyu Tony Parker'ın boyu____Dwyane Wade'in boyu Danny Green'in boyu____Ray Allen'ın boyu

66. Rakım Colorado’da rakımı ’in üzerinde olan dağdan fazlası vardır. Tabloda en yüksek on tanesi gösterilmektedir. Uygun eşitsizlik sembolünü yazmak için bu tabloyu kullanın. Dağ Rakım Mt. Elbert Mt. Massive Mt. Harvard Blanca Peak La Plata Peak Uncompahgre Peak Crestone Peak Mt. Lincoln Grays Peak Mt. Antero La Plata Zirvesi'nin Rakımı____Antero Dağı'nın Rakımı Blanca Zirvesi'nin Rakımı____Elbert Dağı'nın Rakımı Gray's Peak'in Rakımı____Lincoln Dağı'nın Rakımı Massive Dağı'nın Rakımı____Crestone Zirvesi'nin Rakımı Harvard Dağı'nın Rakımı____Uncompahgre Zirvesi'nin Rakımı

Yazma Alıştırmaları

Cevaplar

1. 16 eksi 9; on altı ile dokuzun farkı	3. 5 çarpı 6; beş ile altının çarpımı	5. 28 bölü 4; yirmi sekiz ile dördün bölümü
7. x artı 8; x ile sekizin toplamı	9. 2 çarpı 7; iki ile yedinin çarpımı	11. on dört, yirmi birden küçüktür
13. otuz altı, on dokuza büyük ya da eşittir	15. 3 çarpı n eşittir 24; üç ile n’nin çarpımı yirmi dörde eşittir	17. y eksi 1, 6’dan büyüktür; y ile birin farkı altıdan büyüktür
19. 2, 18 bölü 6’ya küçük ya da eşittir; 2, on sekiz ile altının bölümüne küçük ya da eşittir	21. a, 7 çarpı 4’e eşit değildir; a, yedi ile dördün çarpımına eşit değildir	23. denklem
25. ifade	27. ifade	29. denklem
31. 37	33. x5	35. 125
37. 256	39. a. 43 b. 55	41. 5
43. 34	45. 58	47. 6
49. 13	51. 4	53. 35
55. 10	57. 41	59. 81
61. 149	63. 50	65. a. > b. c. < d. < e. >
67. Cevaplar değişebilir.

Atıflar

Bu bölüm, Prealgebra (OpenStax) Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith ve Andrea Honeycutt Mathis tarafından CC BY 4.0 Lisansı altındadır. Izabela Mazur tarafından uyarlanmıştır. Daha fazla bilgi için Telif Hakkı sayfasına bakın.

Cebirsel İfadeleri Değerlendirin

Son bölümde, işlem önceliğini kullanarak ifadeleri basitleştirdik. Bu bölümde ise, yine işlem önceliğini takip ederek ifadeleri değerlendireceğiz.

Bir cebirsel ifadeyi değerlendirmek, değişken verilen bir sayıyla değiştirildiğinde ifadenin değerini bulmak demektir. Bir ifadeyi değerlendirmek için, ifadedeki değişkenin yerine verilen sayıyı koyar, sonra da ifadeyi işlem önceliğini kullanarak sadeleştiririz.

ÖRNEK 1

Değerlendirin: için:

1.  
2.  

Çözüm

a. Değerlendirmek için ifadede yerine koyun, sonra sadeleştirin.

Yerine koyun.
Toplayın.

iken ifadesinin değeri ’dir.

b. Değerlendirmek için ifadede yerine koyun, sonra sadeleştirin.

Yerine koyun.
Toplayın.

iken ifadesinin değeri ’dir.

Aynı ifadeyle başlamamıza rağmen a) ve b) şıkları için farklı sonuçlar elde ettiğimize dikkat edin. Bunun nedeni için kullanılan değerlerin farklı olmasıdır. Bir ifadeyi değerlendirdiğimizde, değer, değişken için kullanılan değere bağlı olarak değişir.

ÖRNEK 2

Değerlendirin:

1.  
2.  

Çözüm

Hatırlayın: , çarpı demektir; dolayısıyla , çarpı demektir.

a. İfadeyi iken değerlendirmek için yerine koyar, sonra sadeleştiririz.

Çarpın.
Çıkarın.

b. İfadeyi iken değerlendirmek için yerine koyar, sonra sadeleştiririz.

Çarpın.
Çıkarın.

a) şıkkında , b) şıkkında ise yazdığımıza dikkat edin. Hem nokta hem de parantez bize çarpma yapmamızı söyler.

ÖRNEK 3

Değerlendirin: , iken.

Çözüm

yerine koyar, sonra ifadeyi sadeleştiririz.

Üs tanımını kullanın.
Çarpın.

iken ifadesinin değeri ’dir.

DENEYİN 3.1

Değerlendirmek:

.

Yanıtı göster

64

DENEYİN 3.2

Değerlendirmek:

.

Yanıtı göster

216

ÖRNEK 4

.

Çözüm

Bu ifadede değişken bir üslü ifadedir.

Üs tanımını kullanın.
Çarpın.

iken ifadesinin değeri ’dir.

ÖRNEK 5

.

Çözüm

Bu ifade iki değişken içerdiğinden, iki kez yerine koyma işlemi yapmalıyız.

Çarpın.
Soldan sağa toplayıp çıkarın.

ve iken ifadesinin değeri ’dir.

DENEYİN 5.1

Değerlendirmek:

Yanıtı göster

33

DENEYİN 5.2

Değerlendirmek:

Yanıtı göster

10

ÖRNEK 6

.

Çözüm

Bir ifadede üslü bir değişken olduğunda dikkatli olmalıyız. Bu ifadede , demektir ve ifadesinden farklıdır; o da demektir.

Sadeleştirin: .
Çarpın.
Toplayın.

DENEYİN 6.1

Değerlendirmek:

.

Yanıtı göster

40

DENEYİN 6.2

Değerlendirmek:

.

Yanıtı göster

9

Terimleri, Katsayıları ve Benzer Terimleri Belirleyin

Cebirsel ifadeler terimlerden oluşur. Bir terim, bir sabit ya da bir sabit ile bir veya daha fazla değişkenin çarpımıdır. Bazı terim örnekleri: .

Bir terimde değişken(ler)i çarpan sabite katsayı denir. Katsayıyı, değişkenin önündeki sayı olarak düşünebiliriz. teriminin katsayısı ’dir. yazdığımızda katsayı olur; çünkü . Aşağıdaki tablo, sol sütundaki her terimin katsayısını verir.

Terim	Katsayı

Bir cebirsel ifade, bir veya daha fazla terimin toplanması veya çıkarılmasıyla oluşabilir. Bu bölümde, yalnızca toplanan terimlerle çalışacağız. Aşağıdaki tablo, çeşitli sayıda terime sahip bazı cebirsel ifadeler örnekleri vermektedir. Bir terimin önüne işlemi eklediğimize dikkat edin.

İfade	Terimler

Bu terimlerden hangileri benzer terimlerdir?

• ve terimlerinin ikisi de sabit terimdir.
• ve terimlerinin ikisinde de vardır.
• ve terimlerinin ikisinde de vardır.

Aynı değişkenlere ve aynı üslere sahip terimlere benzer terimler denir. Tüm sabit terimler de benzer terimdir. Dolayısıyla şu terimler arasında ,

Benzer Terimleri Birleştirerek İfadeleri Sadeleştirme

Bir ifadeyi, benzer terimleri birleştirerek sadeleştirebiliriz. Sizce neye sadeleşir? dediyseniz haklısınız!

Bunun neden işe yaradığını, her iki terimi de toplama işlemi olarak yazarak görebiliriz.

katsayıları toplayın ve aynı değişkeni koruyun. değişkeninin ne olduğu önemli değildir. Bir şeyden taneniz varsa ve aynı şeyden tane daha eklerseniz, sonuç tane olur. Örneğin portakal artı portakal portakal eder. Bunun arkasındaki matematiksel özellikleri daha sonra ele alacağız.

ifadesinin yalnızca iki terimi vardır. Bir ifade daha fazla terim içerdiğinde, benzer terimlerin bir arada olması için terimleri yeniden düzenlemek yararlı olabilir. Toplamanın Değişme Özelliği, toplamı değiştirmeden toplananların sırasını değiştirebileceğimizi söyler. Böylece benzer terimleri birleştirmeden önce aşağıdaki ifadeyi yeniden düzenleyebiliriz.

Artık benzer terimleri bir araya getirmek daha kolay.

ÖRNEK 9

İfadeyi sadeleştirin: .

Çözüm

Benzer terimleri belirleyin.
İfadeyi, benzer terimler bir arada olacak şekilde yeniden düzenleyin.
Benzer terimlerin katsayılarını toplayın.
Özgün ifade şuna sadeleşir…

DENEYİN 9.1

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

16x + 17

DENEYİN 9.2

Sadeleştirin:

Yanıtı göster

17y + 7

ÖRNEK 10

İfadeyi sadeleştirin: .

Çözüm

Benzer terimleri belirleyin.
İfadeyi, benzer terimler bir arada olacak şekilde yeniden düzenleyin.
Benzer terimlerin katsayılarını toplayın.

Bunlar benzer terim değildir ve birleştirilemez. Dolayısıyla en sade biçimindedir.

Kelimeleri Cebirsel İfadelere Çevir

Önceki bölümde, cebirde kullanılan birçok işlem sembolünü listeledik ve ardından ifadeleri ve denklemleri sözcük öbeklerine ve cümlelere çevirdik. Şimdi süreci tersine çevirerek sözcük öbeklerini cebirsel ifadelere çevireceğiz. Bahsettiğimiz semboller ve değişkenler bunu yapmamıza yardımcı olacaktır. Bunlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

İşlem	Öbek	İfade
Toplama	artı , ile arttırılmış fazlası , ile eklenmiş
Çıkarma	eksi , ile çıkarılmış azaltılmış eksiği
Çarpma	çarpı , ile	, , ,
Bölme	bölü , ile , ile ’in içine bölünmüş	, , ,

Bu ifadeleri dört işlem kullanarak yakından inceleyin:

• ile toplamı
• ile farkı
• ile çarpımı
• ile bölümü

Her öbek size iki sayı üzerinde işlem yapmanızı söyler. Sayıları bulmak için ‘ile’ ve ‘ve’ kelimelerine bakın.

Sekiz yıl sonra kaç yaşında olacaksınız? Şimdiki yaşınızdan sekiz yıl fazlası hangi yaştır? Şimdiki yaşınıza eklediniz mi? Sekiz fazlası, şimdiki yaşınıza sekiz eklemek demektir.

Yedi yıl önce kaç yaşındaydınız? Bu, şimdiki yaşınızdan yedi yıl azdır. Şimdiki yaşınızdan çıkarırsınız. Yedi azı, şimdiki yaşınızdan yedi çıkarmak demektir.

ÖRNEK 14

Dikdörtgen bir pencerenin yüksekliği, genişliğinden inç azdır. Pencerenin genişliğini ile gösterelim. Pencerenin yüksekliği için bir ifade yazın.

Çözüm

Yükseklikle ilgili bir öbek yazın.	genişlikten az
Genişlik yerine koyun.	,
ten az	‘az’ ifadesini ‘çıkarılmış’ olarak yeniden yazın.
Öbeği cebre çevirin.

+ 2

ÖRNEK 15Blanca’nın cüzdanında on sentlikler ve çeyrek dolarlıklar var. On sentliklerin sayısı, çeyrek katının eksiğidir. Çeyreklerin sayısını

ile gösterelim. On sentliklerin sayısı için bir ifade yazın.

Çözüm	On sentliklerin sayısıyla ilgili bir öbek yazın.
değerini çeyreklerin sayısı yerine koyun.	, beş kere
‘kat’ ifadesini çevirin: çarpı .	eksiği
Öbeği cebre çevirin.

DENEYİN 15.1

Geoffrey’nin cebinde on sentlikler ve çeyrek dolarlıklar var. On sentliklerin sayısı, çeyreklerin sayısının altı katının yedi eksiğidir. Çeyreklerin sayısını ile gösterelim. On sentliklerin sayısı için bir ifade yazın.

Yanıtı göster

6q − 7

DENEYİN 15.2

Lauren’ın cüzdanında on sentlikler ve beş sentlikler var. On sentliklerin sayısı, beş sentliklerin sayısının dört katının sekiz fazlasıdır. Beş sentliklerin sayısını ile gösterelim. On sentliklerin sayısı için bir ifade yazın.

Yanıtı göster

4n + 8

Temel Kavramlar

• Benzer terimleri birleştirin.
  1. Benzer terimleri belirleyin.
  2. Benzer terimler bir araya gelecek şekilde ifadeyi yeniden düzenleyin.
  3. Benzer terimlerin katsayılarını toplayın.

Sözlük

Alıştırmalar

Cebirsel İfadeleri Değerlendirin

Aşağıdaki alıştırmalarda, verilen değer için ifadeyi değerlendirin.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

Terimleri, Katsayıları ve Benzer Terimleri Belirleyin

Aşağıdaki alıştırmalarda, verilen ifadede geçen terimleri listeleyiniz.

21.	22.
23.	24.

Aşağıdaki alıştırmalarda, verilen terimin katsayısını belirleyiniz.

25.	26.
27.	28.

Aşağıdaki alıştırmalarda, benzer terimlerden oluşan tüm kümeleri belirleyin.

29.	30.
31.	32.

Benzer Terimleri Birleştirerek İfadeleri Sadeleştirme

Aşağıdaki alıştırmalarda, benzer terimleri birleştirerek verilen ifadeyi sadeleştirin.

33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.

İngilizce İfadeleri Cebirsel İfadelere Çevir

Aşağıdaki alıştırmalarda, verilen kelime öbeğini cebirsel bir ifadeye çevirin.

49. 8 ile 12’nin toplamı	50. 9 ile 1’in toplamı
51. 14 ile 9’un farkı	52. 19’un 8 eksiği
53. 9 ile 7’nin çarpımı	54. 8 ile 7’nin çarpımı
55. 36 ile 9’un bölümü	56. 42 ile 7’nin bölümü
57. ile	58. eksiği
59. ile	60. ile
61. ile	62. ile
63. ile	64. ile
65. ile dokuzun farkının sekiz katı	66. ile birin farkının yedi katı
67. ile	68. iki katının beş eksiğinin

Aşağıdaki alıştırmalarda cebirsel bir ifade yazın.

69. Adele bir etek ve bir bluz aldı. Etek, bluzdan 15 $ pahalıydı. Bluzun fiyatını ile gösterelim. Eteğin fiyatı için bir ifade yazın.	70. Eric’in arabasında rock ve klasik müzik CD’leri var. Rock CD’lerinin sayısı, klasik CD’lerinin fazlasıdır. Klasik CD’lerinin sayısını ile gösterelim. Rock CD’lerinin sayısı için bir ifade yazın.
71. Bir ikinci sınıftaki kızların sayısı, erkeklerin sayısından azdır. Erkeklerin sayısını ile gösterelim. Kızların sayısı için bir ifade yazın.	72. Marcella’nın erkek kuzenlerinin sayısı, kız kuzenlerinden azdır. Kız kuzenlerinin sayısını ile gösterelim. Erkek kuzenlerinin sayısı için bir ifade yazın.
73. Greg’in cebinde beş sentlikler ve bir sentlikler var. Bir sentliklerin sayısı, beş sentliklerin sayısının iki katının yedi eksiğidir. Beş sentliklerin sayısını ile gösterelim. Bir sentliklerin sayısı için bir ifade yazın.	74. Jeannette’in cüzdanında 5 $ ve 10 $’lık banknotlar var. Beşliklerin sayısı, onlukların sayısının altı katının üç fazlasıdır. Onlukların sayısını ile gösterelim. Beşliklerin sayısı için bir ifade yazın.

Günlük Matematik

Aşağıdaki alıştırmalarda, problemi çözmek için cebirsel ifadeler kullanın.

Yazma Alıştırmaları

77. “x ile y’nin toplamı”nın “y ile x’in toplamı” ile aynı olduğunu, ama “x ile y’nin farkı”nın “y ile x’in farkı” ile aynı olmadığını açıklayın. Açıklamanıza yardımcı olması için ve yerine rastgele iki sayı koymayı deneyin.

78. Şunun arasındaki farkı açıklayın: ile toplamının katı ile “ kere ile

Cevaplar

1. 22	3. 26	5. 144
7. 32	9. 27	11. 21
13. 41	15. 9	17. 73
19. 54	21. 15x2, 6x, 2	23. 10y3, y, 2
25. 8	27. 5	29. x3, 8x3 ve 14, 5
31. 16ab ve 4ab; 16b2 ve 9b2	33. 13x	35. 26a
37. 7c	39. 12x + 8	41. 10u + 3
43. 12p + 10	45. 22a + 1	47. 17x2 + 20x + 16
49. 8 + 12	51. 14 − 9	53. 9 ⋅ 7
55. 36 ÷ 9	57. x − 4	59. 6y
61. 8x + 3x	63.	65. 8 (y − 9)
67. 5 (x + y)	69. b + 15	71. b − 4
73. 2n − 7	75. 750 $ öder. Sigorta şirketi 1.350 $ öder.	77. Cevaplar değişebilir.

Atıflar

Bu bölüm, Prealgebra (OpenStax) Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith ve Andrea Honeycutt Mathis tarafından CC BY 4.0 Lisansı altındadır. Izabela Mazur tarafından uyarlanmıştır. Daha fazla bilgi için Telif Hakkı sayfasına bakın.

Negatif İşareti ve Karşıtları Kullanma

Şimdiye kadarki çalışmalarımız yalnızca sayma sayılarını ve doğal sayıları içeriyordu. Ancak sıfırın altında bir sıcaklıkla karşılaştıysanız veya yanlışlıkla banka hesabınızda eksi bakiyeye düştüyseniz negatif sayılara zaten aşinasınız. Negatif sayılar Sayılar daha az . negatif sayılar sayı doğrusunda sıfırın solundadır. Bkz. Şekil 1.

Şekil 1. Sayı doğrusu, pozitif ve negatif sayıların konumunu göstermektedir.

Sayı doğrusunun uçlarındaki oklar, sayıların sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. En büyük pozitif sayı ve en küçük negatif sayı yoktur.

Sıfır pozitif mi yoksa negatif bir sayı mıdır? Sıfırdan büyük sayılar pozitiftir, sıfırdan küçük sayılar ise negatiftir. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir.

Sayı doğrusunda sayıların nasıl sıralandığını düşünün. Soldan sağa doğru gidildikçe sayıların değeri artar. Sağdan sola gidildikçe sayıların değeri azalır. Bkz. Şekil 2.

Şekil 2: Sayı doğrusundaki sayılar soldan sağa doğru değer kazanırken, sağdan sola doğru değer kaybeder.

Şimdi doğal sayıları gösteren sayı doğrusunu negatif sayıları da içerecek biçimde genişletmemiz gerekiyor. Şekil 3'te noktalarla işaretlenmiş sayılar Şekil 3 tam sayılar olarak adlandırılır. Tam sayılar şunlardır:

Şekil 3. İşaretlenmiş sayıların tümüne tam sayı denir.

ÖRNEK 1

Aşağıdaki sayı çiftlerini < veya > kullanarak sıralayın: a) ___ b) ___ c) ___ d) ___.

Çözüm

Gösterilen sayı doğrusuna bakmak faydalı olabilir.

a) 14, sayı doğrusunda 6'nın sağındadır.	___  >
b) −1, sayı doğrusunda 9'un solundadır.	___
c) −1, sayı doğrusunda −4'ün sağındadır.	___
d) 2, sayı doğrusunda −20'nin sağındadır.	___ >

Bunu fark etmiş olabilirsiniz Sayı numarasıNegatif sayılar, ortada sıfır olacak biçimde pozitif sayıların ayna görüntüsüdür. 2 ve Sıfırdan aynı mesafe, tam tersi olarak adlandırılırlars2'nin tam tersidir. Ve tam tersi 2

(Şekil 4) Tanımları gösterir.

3'ün aksine, .

Şekil 4

Cebirde bazen aynı sembolün farklı anlamları olabilir. İngilizcedeki bazı kelimeler gibi, belirli anlamı kullanım şekline bakarak anlaşılır. "−" sembolünün üç farklı şekilde kullanıldığını gördünüz.

	İki sayı arasında, operasyonunu gösterir Kaldırın. Okuduk “10 eksi 4.”
	Bir sayının önünde, bir sayı gösterir negatif Sayı. -8'i "negatif sekiz" olarak okuruz.
	Bir değişkenin önünde, gösterir tersiOkuduk. “Nefsenin aksine .”
	İşte iki “-” işareti var. Ebeveynlerdeki biri bize sayının negatif olduğunu söylüyor. Ebeveynlerin dışındaki biri bizi almamızı söylüyor tersi -2. Okuduk “Negatif ikinin tersi.”

Karşıt Gösterimi

Yani sayının tersi a.

Gösterim Okumaya devam edin: a.”

ÖRNEK 2

Bul: a) 7'nin tersi b)'nin tersi c) .

Çözüm

a) -7, 0'dan 7'ye aynı mesafedir, ancak 0'ın tersi tarafında.	7'nin tersi -7.
b) 10, 0'dan -10 olarak aynı mesafedir, ancak 0'ın tersi tarafında.	-10'un tersi 10.
c) −(−6)	-(-6) tersi -6.

Karşıtlarla yaptığımız çalışma, tam sayıları tanımlamamızı sağlar. Doğal sayılar ve bunların karşıtları tam sayılar olarak adlandırılır. Tam sayılar şunlardır:

Tam Sayılar

Doğal sayılar ve bunların karşıtları tam sayılar.

Tam sayılar sayılardır.

Bir değişkenin karşıtının değerini bulurken değişkenÇok dikkatli olmalıyız. Değişkenin pozitif veya negatif bir sayıyı temsil ettiğini bilmeden, pozitif veya negatif bir sayıyı temsil etmeyeceğini bilmiyoruz. pozitif ya da negatif olduğunu şu örnekte görebiliriz: Örnek 3 Örnek.

Mutlak Değer İçeren İfadeleri Sadeleştirme

Bu sayıları böyle gördük sayı doğrusunda 0'a eşit uzaklıkta oldukları için birbirlerinin karşıtıdır. Her ikisi de 0'a iki birim uzaklıktadır. Sayı doğrusunda 0 ile herhangi bir sayı arasındaki uzaklığa o sayının mutlak değer Bu sayının.

Örneğin,

• Birimlerden uzakta Bu yüzden .
• Birimlerden uzakta Bu yüzden .

Şekil 5 Bu fikri gösterir.

Tam Sayılar Birimlerden uzakta .

Şekil 5

Bir sayının mutlak değeri hiçbir zaman negatif değildir; çünkü uzaklık negatif olamaz. Mutlak değeri sıfıra eşit olan tek sayı sıfırdır; çünkü sıfırın Sayı çizgisinde sıfır birimdir.

Matematikçiler bunu daha doğru bir şekilde şöyle ifade eder: "Mutlak değerler her zaman negatif olmayan değerlerdir." Negatif olmayan, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit anlamına gelir.

Bir sonraki örnekte, mutlak değerlere sahip ifadeleri sıralayacağız. Unutmayın, pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan büyüktür!

ÖRNEK 5

Girin <, >, Aşağıdaki sayıların her biri için:

a) ___ b) ___c) ___ d) –___

Çözüm

	___ –
a) Basitleştirin. Sıralayın.	5 ___ -5
	5  > -5
	> –
b) Basitleştirin. Sıralayın.	___ –
	8 ___ -8
	8 > -8
	8 > –
c) Basitleştirin. Sıralayın.	9 ___ – -9 ___ -9 -9 = -9 -9 = –
d) Basitleştirin. Sıralayın.	– ___ – 16 ____ -16 16 > -16 – > –

Artık gruplandırma sembolleri listemize mutlak değer çizgilerini de ekliyoruz. İşlem önceliğini uygularken önce mutlak değer çizgilerinin içini olabildiğince sadeleştirir, ardından mutlak değer Elde edilen sayının.

Bir sonraki örnekte, tıpkı parantezlerde yaptığımız gibi, önce mutlak değer çubukları içindeki ifadeleri basitleştiriyoruz.

28

Sadeleştirin: .

Çözüm

İlk önce ebeveynlik içinde çalışın: 6.
3(4)'ü çarpın.
mutlak değer barları içinde alt boyut.
Mutlak değeri alın.
Çıkarın.

ÖRNEK 7

Değerlendirin: a) b) c) d) .

Çözüm

a)

Mutlak değeri alın.	35

b)

Sadeleştirin.
Mutlak değeri alın.	20

c)

Mutlak değeri alın.

d)

Mutlak değeri alın.

Tam Sayıları Toplama

Öğrencilerin çoğu pozitif sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini rahatlıkla yapabilir. Ancak hem pozitif hem de negatif sayılarla toplama veya çıkarma yapmak daha zorlayıcı olabilir.

Negatif sayıların toplama ve çıkarma işlemlerini modellemek için iki renkli pul kullanacağız, böylece kuralları ezberlemek yerine işlemleri görselleştirebileceksiniz.

Pozitif değerleri temsil etmek için bir rengi (mavi), negatif değerleri temsil etmek için ise diğer rengi (kırmızı) kullanalım. Eğer bir pozitif ve bir negatif sayıcımız varsa, bu çiftin değeri sıfırdır. Nötr bir çift oluştururlar. Bu nötr çiftin değeri sıfırdır.

Dört toplama durumunu göstermek için renkli pulları kullanacağız. Kullanacağımız sayılar ve .

eklemek için eklemek Biz biliyoruz ki, 5 ve 3 toplamı anlamına gelir.

5 pozitif ile başlıyoruz.
Ve sonra 3 pozitif ekledik.
Şimdi 8 pozitifimiz var. 5 ve 3'ün toplamı 8.

Şimdi ekleyeceğiz Son örnek için izleyin .

eklemek için eklemek Biz biliyoruz ki bu, toplamının anlamına gelir .

5 negatifle başlıyoruz.
Ve sonra 3 negatif ekledik.
Şimdi 8 negatifimiz var. -5 ve -3 miktarı -8.

Bu ilk iki örnek hangi açılardan birbirine benziyordu?

• Birinci örnekte 5 pozitif ve 3 pozitif olmak üzere her ikisi de pozitiftir.
• İkinci örnekte 5 negatif ve 3 negatif (ikisi de negatif) eklenmiştir.

Her durumda 8 tane pozitif veya 8 negatif var.

İşaretler aynı olduğunda pulların hepsi aynı renkteydi; bu nedenle pulları topladık.

ÖRNEK 8

Ekle: a) b) .

Çözüm

a)

1 pozitif artı 4 pozitif, 5 pozitif eder.

 

b)

1 negatif sayıya 4 negatif sayı eklersek 5 negatif sayı elde ederiz.

Peki işaretler farklı olduğunda ne olur? Hadi ekleyelim Bunu anlıyoruz ki, toplamı 3. Karşıtlar aynı renkte olduğunda, onları bir sıraya koyduk. Karşıtlar farklı bir renk olduğunda, onları birbirleriyle çizgiliyoruz.

	-5 + 3, -5 ve 3.
5 negatifle başlıyoruz.
Ve sonra 3 pozitif ekledik.
Tüm nötr çiftleri çıkarırız.
2 negatifimiz kaldı.
-5 ve 3'ün toplamı -2.	−5 + 3 = −2

Dikkat ederseniz, pozitif sonuçlardan daha fazla negatif sonuç vardı, bu nedenle sonuç negatif oldu.

Şimdi son kombinasyonu ekleelim, .

	5 + (-3) 5 ve -3 toplam anlamına gelir.
5 pozitif ile başlıyoruz.
Ve sonra 3 negatif ekledik.
Tüm nötr çiftleri çıkarırız.
2 pozitifimiz kaldı.
5 ve -3 toplamı 2.	5 + (−3) = 2

Pozitif ve negatif tam sayıların toplamasını modellemek için pullar kullandığımızda, daha fazla pozitif mi yoksa daha fazla negatif pul mı olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle toplamın pozitif mi yoksa negatif mi olacağını biliyoruz.

ÖRNEK 9

Ekle: a) b) .

Çözüm

a)

	−1 + 5
Pozitif pul daha fazla olduğu için toplam pozitiftir.	4

b)

	1 + (−5)
Negatif pul daha fazla olduğu için toplam negatiftir.	−4

Artık modelimize küçük pozitif ve negatif tam sayıları eklediğimize göre, herhangi bir sayıyla ilgili problemleri basitleştirmek için modeli zihnimizde canlandırabiliriz.

Sayıları eklemeniz gerektiğinde Gerçekten 37 mavi sayacı ve 53 kırmızı sayacı saymak zorunda değilsiniz. Aklınızdaki modelle, sorunu çözmek için ne yapmanız gerektiğini görselleştirebilir misiniz?

37 mavi pulu ve altına sıralanmış 53 kırmızı pulu düşünün. Kırmızı (negatif) pulların sayısı mavi (pozitif) pullardan fazla olduğundan toplam şöyle olur: negatif. Kaç tane daha kırmızı sayacı olurdu? Çünkü 16 kırmızı karşı var.

Bu nedenle, toplamı olur .

Başka bir tane deneyelim. ekleyeceğim . Yine, 74 kırmızı sayacı ve 27 daha kırmızı sayacı hayal edin, bu yüzden 101 kırmızı karşımız var. Bu, toplamın olduğu anlamına gelir .

Tekrar farklı kombinasyonlarını ekleme sonuçlarına bakalım ve .

Pozitif ve Negatif Tam Sayıları Toplama

İşaretler aynı olduğunda pulların hepsi aynı renkte olur; bu nedenle pulları toplayın.

İşaretler farklı olduğunda, bazı pullar nötr çiftler oluşturacaktır, bu nedenle geriye kaç tane kaldığını görmek için çıkarma işlemi yapın.

Aşağıdaki örneklerdeki ifadeleri basitleştirirken modeli görselleştirin.

Şimdiye kadar kullanılan teknikler, daha önce gördüğümüz gibi daha karmaşık problemlere de uygulanabilir. İşlem önceliğine uymayı unutmayın!

ÖRNEK 11

Sadeleştirin: .

Çözüm

Ebeveynlerin içinde basitleştirin.
Çok fazla.
Sağa bırak.

Tam Sayıları Çıkarma

Çıkarma işlemini modellemek için sayma çubuklarını kullanmaya devam edeceğiz. Unutmayın, mavi sayma çubukları pozitif sayıları, kırmızı sayma çubukları ise negatif sayıları temsil eder.

Belki daha gençken, okursunuz olarak uzaklaş Karşıtları kullandığınızda, aynı şekilde çekilmeyi düşünebilirsiniz!

Sayıları kullanarak dört kaldırma gerçekleri modelleyeceğiz ve .

Çıkarmak için Biz sorunu geri alıyoruz uzaklaş

5 pozitif ile başlıyoruz.
3 pozitif alıyoruz.
2 pozitifimiz kaldı.
5 ve 3 arasındaki fark 2.	2

Şimdi kaldıracağız Son örnek için izleyin .

Çıkarmak için Biz bunu geri alıyoruz uzaklaş

5 negatifle başlıyoruz.
Biz ‘üç negatif’ alıyoruz.
2 negatifimiz kaldı.
-5 ve -3 arasındaki fark -2.	−2

Dikkat ederseniz, bu iki örnek birbirine çok benziyor: Birinci örnekte, 5 pozitiften 3 pozitifi çıkarıyoruz ve sonuç olarak 2 pozitif elde ediyoruz.

İkinci örnekte, 5 negatif sayıdan 3 negatif sayıyı çıkarıyoruz ve sonuç olarak 2 negatif sayı elde ediyoruz.

Her örnekte yalnızca tek renkli pullar kullanılmış ve çıkarma işleminin "çıkarma" modeli kolayca uygulanabilmiştir.

28

Çıkarma: a) b) .

Çözüm

a) 7 pozitif puldan 5 pozitif pulu çıkarın; geriye 2 pozitif pul kalır.
b) 7 negatiften 5 negatif alın ve 2 negatif elde edin.

Bir pozitif sayı ile bir negatif sayıyı birbirinden çıkarmamız gerektiğinde ne olur? Hem mavi hem kırmızı pulları hem de bazı nötr çiftlertarafsız bir çift eklemek değeri değiştirmez. Bu, çeyrekleri nikellere değiştirmek gibidir - değer aynıdır, ancak farklı görünüyor.

• Çıkarmak için Biz onu geri alıyoruz 3.

5 negatif pulla başlıyoruz. 3 pozitif pulu çıkarmamız gerekiyor, ancak çıkarabileceğimiz pozitif pul yok.

Bir nötr çiftin değerinin sıfır olduğunu unutmayın. 5'e 0 eklersek değer yine 5 olur. Çıkarabileceğimiz 3 pozitif pul elde edene kadar 5 negatif pula nötr çiftler ekleriz.

	-5 - 3, - 5'in 3'ü alması anlamına gelir.
5 negatifle başlıyoruz.
Şimdi 3 pozitif almak için gerekli tarafsızları ekliyoruz.
3 pozitif pulu çıkarırız.
8 negatif ile ayrıldık.
-5 ve 3'ün farkı -8.	−5 − 3 = −8

Ve şimdi, dördüncü dava, 5 pozitif pulla başlarız. 3 negatif pulu çıkarmamız gerekir, ancak çıkarabileceğimiz negatif pul yoktur. Bu nedenle 3 negatif pul elde edene kadar nötr çiftler ekleriz.

	5 - (-3) 5'in -3'ü alması anlamına gelir.
5 pozitif ile başlıyoruz.
Şimdi gerekli nötr çiftleri ekleriz.
3 negatifleri ortadan kaldırıyoruz.
8 pozitif ile ayrıldık.
5 ve -3 arasındaki fark 8.	5 − (−3) = 8

ÖRNEK 13

Çıkarma: a) b) .

Çözüm

a)

Eklenen nötr çiftten 1 pozitif pulu çıkarın.

−3 − 1 −4

b)

Eklenen nötr çiftten 1 negatif pulu çıkarın.

3 − (−1) 4

DENEYİN 13.1

Çıkarma: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 10

DENEYİN 13.2

Çıkarma: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 11

Fark ettin ki, İmzalanan sayıların çıkarılması, tam tersi ekleyerek yapılabilir? Örnek 13 Örnek, Aynısı ve Aynısı . Çıkarma özelliği olarak adlandırılan bu düşüncenin çoğu zaman şöyle yazıldığını görürsünüz:

Çıkarma Özelliği

Bir sayıdan bir sayıyı çıkarmak, o sayının tersini eklemekle aynı şeydir.

Şu iki örneğe bakın.

.

Elbette yalnızca pozitif sayılar içeren bir çıkarma işleminiz olduğunda, örneğin Ama sen sadece çıkarmayı yapıyorsun. Zaten nasıl çıkarılacağını biliyordun Uzun zaman önce. Ama Bilmek İşte o ki bu Aynı cevabı aynı cevabı verir negatif sayıları çıkarırken yardımcı olur. Şu işlemin nasıl yapıldığını anladığınızdan emin olun: ve Aynı sonuçları verin!

ÖRNEK 14

Basitleştirin: a) ve  b)  ve .

Çözüm

a) Çıkarın.
b) Çıkarın.

Negatif bir sayıyı çıkardığımızda ne olduğuna bakın.

Negatif bir sayıyı çıkarmak, pozitif bir sayıyı eklemek gibidir!

Bunun çoğu zaman şöyle yazıldığını görürsünüz: .

Bu durum diğer sayılar için de geçerli mi? Aşağıdaki örneği yapalım ve görelim.

ÖRNEK 15

Basitleştirin: a) ve  b)  ve .

Çözüm

a)

b)

a) Çıkarın.
b) Çıkarın.

Farklı kombinasyonlarını çıkarmanın sonuçlarına tekrar bakalım ve .

Üçten fazla tam sayı olduğunda ne olur? Her zamanki gibi işlem önceliği kurallarını kullanırız.

28

Sadeleştirin: .

Çözüm

İlk önce ebeveynlerin içinde basitleşir.
Soldan sağa çıkarın.
Çıkarın.

Temel Kavramlar

• Pozitif ve Negatif Tam Sayıları Toplama
  
• Mutlak Değerin Mülkiyeti: her sayı için geçerlidir. Mutlak değerler her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir!
• Tam Sayıları Çıkarma
  
• Çıkarma Özelliği: Bir sayıyı alt etmek, tersini eklemekle aynıdır.

Sözlük

Alıştırmalar

Tam Sayıların Negatiflerini ve Karşıtlarını Kullanma

Aşağıdaki alıştırmalarda, aşağıdaki sayı çiftlerinin her birini < veya > işaretlerini kullanarak sıralayın.

1. a) ___ b) ___ c) ___ d) ___

2. a) ___ b) ___ c) ___ d) ___

Aşağıdaki alıştırmalarda, her sayının zıtını bulun.

3. a) 2 b)

4. a) 9 b)

Aşağıdaki alıştırmalarda sadeleştirin.

5.	6.
7.	8.

Aşağıdaki alıştırmalarda ifadelerin değerini bulun.

9. olduğunda a) b)

10. olduğunda a) b)

Mutlak Değer İçeren İfadeleri Sadeleştirme

Aşağıdaki alıştırmalarda sadeleştirin.

11. a) b) c)

12. a) b) c)

Aşağıdaki alıştırmalarda boşlukları <, > veya Her bir sayının aşağıdaki çiftleri için.

13. a) ___ b) ___

14. a) ___ b) ___

Aşağıdaki alıştırmalarda sadeleştirin.

15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

Aşağıdaki alıştırmalarda ifadelerin değerini bulun.

23. a) b)

24. a) b)

Tam Sayıları Toplama

Aşağıdaki alıştırmalarda her ifadeyi sadeleştirin.

25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32. 6
33.	34.

Tam Sayıları Çıkarma

Aşağıdaki alıştırmalarda sadeleştirin.

35.	36.
37.	38.
39.	40.
41. a) b)	42. a) b)
43. a) b)	44. a) b)

Aşağıdaki alıştırmalarda her ifadeyi sadeleştirin.

45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.
61.	62.
63.	64.
65.	66.
67.	68.
69.	70.

Günlük Matematik

71. Seçim Kuzey Amerika'daki en yüksek rakım, deniz seviyesinden 20.320 fit yüksekte bulunan McKinley Dağı, Alaska'dır. En düşük yükseklik, deniz seviyesinden 282 fit aşağıda bulunan Ölüm Vadisi, Kaliforniya'dır. Aşağıdaki yapıların yüksekliklerini tam sayılar kullanarak yazın: a) McKinley Dağı. b) Ölüm Vadisi.	72. Aşırı sıcaklıklar Dünyadaki en yüksek kaydedilmiş sıcaklık, °C, 1922'de Sahara Çölünde kaydedilen. En düşük kaydedilen sıcaklık, kaydedildi ° aşağıda °C, 1983 yılında Antarktika'da kaydedilen Aşağıdakileri tam sayılar kullanarak yazın: a) Kaydedilen en yüksek sıcaklık. b) Kaydedilen en düşük sıcaklık.
73. Eyalet Bütçeleri Quebec eyaleti 2019 yılı için 5,6 milyon dolarlık bütçe fazlası öngördü. Aynı yıl Alberta 7,5 milyon dolarlık bütçe açığı öngördü. Aşağıdaki bütçeleri tam sayılarla gösterin: a) Quebec. b) Alberta.	74. Üniversite KayıtlarıKanada'daki yükseköğretim kurumlarına kayıtlı uluslararası öğrenci sayısı yirmi yıldır artıyor; üstelik artış oranı Kanadalı öğrencilerinkinden daha yüksek. Uluslararası öğrenci kayıtları 2015'ten 2017'ye 24.315 artarken aynı mali yıllarda Kanadalı öğrenci sayısı 912 azaldı. Değişimi tam sayılarla gösterin: a) 2015 Sonbahar döneminden 2017 Sonbahar dönemine kadar uluslararası öğrenci kayıtlarında. b) 2015 Sonbaharından 2017 Sonbaharına kadar Kanada'daki öğrenci kayıtlarında.
75. Borsa 15 Eylül 2008 haftası, ABD borsasının en dalgalı haftalarından biriydi. Dow Jones Sanayi Endeksi'nin günlük kapanış değerleri şöyleydi: Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Hafta boyunca genel değişim ne oldu? Pozitif muydu, negatif muydu?	76. Borsa 22 Haziran 2009 haftasında Dow Jones Sanayi Endeksi'nin günlük kapanış değerleri şöyleydi: Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Hafta boyunca genel değişim ne oldu? Pozitif muydu, negatif muydu?

Yazma Alıştırmaları

77. Günlük yaşamınızdan bir negatif sayı örneği verin.	78. Üç kullanım alanı nedir cebirde oturum aç? Nasıl farklı olduklarını açıklayın.
79. Neden Toplamı Açıklayın Ve 2 negatif, ancak 8 ve toplam 8 ve pozitiftir.	80. Yaşam deneyiminizden iki negatif sayı eklemek için bir örnek verin.

Cevaplar

1. a) > b) < c) < d) >	3. a)b) 6	5. 4
7. 15	9. a)b) 12	11. a) 32 b) 0 c) 16
13. a) < b)	15.	17. 56
19. 0	21. 8	23. a) b)
25.	27. 32	29.
31. 108	33. 29	35. 6
37.	39. 12	41. a) 16 b) 16
43. a) 45 b) 45	45. 27	47.
49.	51.	53. -99
55.	57.	59. 22
61.	63. 0	65. 6
67.	69.	71. a) 20,320 b)
73. a) $5.6 milyon b) milyon	75.	77. Cevaplar değişebilir
79. Cevaplar değişebilir

Atıflar

Bu bölüm “Tam Sayılarda Toplama ve Çıkarma” bölümünden uyarlanmıştır. Temel Cebir (OpenStax) Lynn Mar Thing ve MaryAnne Anthony-Smith tarafından, bu da bir alt altında. CC BY 4.0 Lisansı. Izabela Mazur'dan uyarlanmıştır. Daha fazla bilgi için Telif Hakkı sayfasına bakın.

Tam Sayıları Çarpma

Çarpma tekrarlanan ek için matematiksel kısa el olduğundan, modelimiz göstermek için kolayca uygulanabilir çarpma arasında tam sayılar. Bu somut modele, fark ettiğimiz kalıpları görmek için bakalım. Ek ve çıkarma için kullandığımız aynı örnekleri kullanacağız. Burada, modeli sadece desen keşfetmemize yardımcı olmak için kullanacağız.

Hatırlayalım ki, eklemek anlamına gelir a, b Zamanlar. Burada, modeli sadece desen keşfetmemize yardımcı olmak için kullanıyoruz.

Sonraki iki örnek daha ilginç.

5'i şu sayıyla çarpmak ne anlama gelir: Bu, 5'i üç kez çıkarmak anlamına gelir. Çıkarmayı ‘eksiltme’ olarak düşünürsek 5'i üç kez eksiltmemiz gerekir. Ancak çıkarılacak bir şey olmadığından çalışma alanına nötr çiftler ekleyerek başlarız. Ardından 5'i üç kez çıkarırız.

Özet:

İki işaretli sayının çarpımında, aşağıdaki durumlara dikkat edin:

• işaretler, işaretlerdir. aynı, ürün pozitif.
• İşaretler işaretlerdir farklı, ürün negatif.

Tüm bunları aşağıdaki tabloda bir araya getireceğiz.

İşaretli Sayıların Çarpımı

İki işaretli sayının çarpımı için:

Aynı işaretler	Çarpım	Örnek
İki pozitif İki negatif	Pozitif Pozitif

Farklı işaretler	Çarpım	Örnek
Pozitif \cdot negatif Negatif \cdot pozitif	Negatif Negatif

ÖRNEK 1

Çarp: a) b) c) d) .

Çözüm

a) İşaretlerin farklı olduğuna ve dolayısıyla ürünün negatif olduğuna dikkat ederek çarpın.
b) İşaretlerin aynı olduğuna ve dolayısıyla çarpımın pozitif olduğuna dikkat ederek çarpın.
c) Çok, farklı işaretlerle.
d) Çok, aynı işaretlerle.

Bir sayıyı 1 ile çarptığımızda sonuç aynı sayı olur. Peki bir sayıyı ile çarptığımızda ne olur? Önce pozitif, ardından negatif bir sayıyı Ne aldığımızı görmek için.

Her seferinde bir sayıyı çarpıyoruz Biz onun tersini alırız!

Çarpma Tarafından

Bir sayıyı çarpmak Onun tersini verir.

ÖRNEK 2

Çarp: a) b) .

Çözüm

a) İşaretlerin farklı olduğuna ve dolayısıyla ürünün negatif olduğuna dikkat ederek çarpın.
b) İşaretlerin aynı olduğuna ve dolayısıyla çarpımın pozitif olduğuna dikkat ederek çarpın.

DENEYİN 2.1

Çarp: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 17

DENEYİN 2.2

Çarp: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 16

Tam Sayıları Bölme

Ne hakkında ne hakkında BölümBölüm, multiplikasyonun ters operasyonudur. Yani, çünkü Bu ifade, beşi üç kez topladığımızda 15 elde edildiği için 15'in beşerli üç gruba ayrılabileceğini söyler. Tam sayılarda bölme kurallarını bulmak için tam sayılarda çarpma örneklerine bakalım.

Bölme işlemi de çarpma işlemiyle aynı kurallara tabidir!

İki işaretli sayının bölme işleminde, aşağıdaki durumlarda:

• işaretler, işaretlerdir. aynı, quotientdir pozitif.
• İşaretler işaretlerdir farklı, quotientdir negatif.

Unutmayın ki, bölme işlemlerinin sonucunu her zaman çarpma yoluyla kontrol edebiliriz.

Çok fazla uygulama ve İmzalanmış Sayılar Bölümü

İki işaretli sayının çarpımı ve bölmesi için:

• İşaretler aynıysa sonuç pozitiftir.
• İşaretler farklıysa sonuç negatiftir.

Aynı işaretler	Sonuç
İki pozitif	Pozitif
İki negatif	Pozitif

İşaretler aynıysa sonuç pozitiftir.

Farklı işaretler	Sonuç
Pozitif ve negatif	Negatif
Negatif ve pozitif	Negatif

İşaretler farklıysa sonuç negatiftir.

ÖRNEK 3

Bölün: a) b) .

Çözüm

a) Bölün. İşaretler farklı olduğundan bölüm negatiftir.
b) Bölün. İşaretler aynı olduğundan bölüm pozitiftir.

DENEYİN 3.1

Bölün: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 39

DENEYİN 3.2

Bölün: a) b) .

Yanıtı göster

a) b) 23

Tam Sayılar İçeren İfadeleri Sadeleştirme

Bir ifadede ikiden fazla sayı olduğunda ne olur? Negatif sayılar da dahil olduğunda işlem önceliği kuralları geçerliliğini korur. "Sevgili Teyzem Sally" filmini hatırlıyor musunuz?

Şimdi birkaç örnek deneyelim. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme olmak üzere tam sayılarla yapılan dört işlemi de içeren ifadeleri basitleştireceğiz. İşlem önceliğine uymayı unutmayın.

ÖRNEK 4

Sadeleştirin: .

Çözüm

Çok önce.
Ekle.
Çıkarın.